Cómo resolver integrales paso a paso

Antes que nada, mira la forma de tu función

La forma de la expresión ya te dice casi todo sobre qué técnica usar:

• Términos separados por + o -: se integra uno por uno (regla de la suma).
• Una sola potencia de x, con o sin coeficiente al frente: regla de la potencia, directo.
• Una función conocida sola (seno, coseno, exponencial, logaritmo): su antiderivada ya está tabulada, solo aplícala.
• Un producto de dos funciones de tipo distinto, como x·ln(x) o x²·eˣ: aquí toca integración por partes.
• Una función metida dentro de otra, con la derivada de la interna presente como factor (por ejemplo sin(x⁵)·5x⁴): eso es sustitución.

Regla de la potencia, el primer recurso

Para integrar xⁿ (siempre que n no sea -1), súmale 1 al exponente y divide entre ese nuevo exponente:

∫xⁿ dx = x^(n+1) / (n+1) + C

Ejemplo: ∫x⁷ dx = x⁸/8 + C. Comprobación: deriva x⁸/8 y obtienes (8·x⁷)/8 = x⁷, la función con la que arrancaste.

Con una suma de potencias, como 5x³ - 2x + 9, cada término se integra por su cuenta: ∫(5x³ - 2x + 9) dx = (5/4)x⁴ - x² + 9x + C.

El caso n = -1, o sea 1/x, queda fuera de esta fórmula porque no se puede dividir entre 0. Ahí la antiderivada pasa a ser el logaritmo natural: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

Ocho antiderivadas para tener memorizadas

Estas no requieren deducir nada, solo reconocerlas:

• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫sec²(x) dx = tan(x) + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫aˣ dx = aˣ / ln(a) + C (con a distinto de e)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫(1/(1+x²)) dx = arctan(x) + C
• ∫(1/√(1-x²)) dx = arcsin(x) + C

Sustitución: cuando una función trae a su propia derivada de acompañante

Funciona cuando, dentro de la integral, hay una pieza "interna" y su derivada aparece multiplicando al resto de la expresión.

Ejemplo: ∫5x⁴·sin(x⁵) dx. La pieza interna es x⁵, y su derivada, 5x⁴, es justo el otro factor. Haces u = x⁵, con lo que du = 5x⁴ dx, y la integral colapsa a ∫sin(u) du = -cos(u) + C. Deshaciendo el cambio: -cos(x⁵) + C.

La señal es esa relación: dentro de la expresión hay dos piezas, y una de ellas resulta ser, quizás multiplicada por una constante, la derivada exacta de la otra.

Integración por partes: cuando el truco anterior no encaja

Si tienes un producto de dos funciones sin esa relación de derivada directa (polinomio por exponencial, por trigonométrica, o un logaritmo solo), entra integración por partes:

∫u dv = uv - ∫v du

El paso decisivo es elegir bien u y dv. Una regla mnemotécnica común es LIPET (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Polinómica, Exponencial, Trigonométrica): la que aparezca primero en esa lista suele convenir como u.

Ejemplo: ∫ln(x) dx. Se ve como una sola función, pero puedes tratarla como 1·ln(x): u = ln(x) (logarítmica, la primera en LIPET) y dv = dx. Entonces du = (1/x) dx y v = x. Aplicando la fórmula: ∫ln(x) dx = x·ln(x) - ∫x·(1/x) dx = x·ln(x) - ∫1 dx = x·ln(x) - x + C.

Compruébalo tú mismo en la calculadora integrales: escribe log(x) y confirma que el resultado exacto coincide.

El paso que casi todo mundo se salta: comprobar

Ya que tienes una antiderivada F(x), hay una forma infalible de saber si está bien: derívala. Si F'(x) regresa a la función original f(x), quedó correcta.

Comprobando el ejemplo anterior: derivamos x·ln(x) - x + C usando la regla del producto en el primer término: d/dx[x·ln(x)] = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. La derivada de -x es -1. Sumando: ln(x) + 1 - 1 = ln(x), exactamente la función original.

Ese mismo chequeo es justo lo que hace nuestra calculadora integrales de forma automática en cada resultado: deriva tu respuesta y la compara numéricamente contra tu función, marcando con un visto cuando coinciden.

¿Y si la integral es definida?

Con límites concretos a y b, el procedimiento no cambia hasta el final: encuentras F(x) igual que en la indefinida, y solo al terminar aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo, evaluando F(b) - F(a). Ahí la constante C desaparece sola, porque se cancela en la resta.

Si quieres ver ese último paso resuelto con calma, tenemos una guía dedicada: integrales definidas e indefinidas.

Dónde se equivoca la gente al resolver a mano

Casi nunca es un error de aritmética: suele ser una decisión de técnica mal tomada, o un paso saltado.

• Dejar fuera la constante +C en una indefinida: la parte variable puede estar perfecta y la respuesta sigue incompleta.
• Insistir con la regla de la potencia sobre un producto de funciones, cuando en realidad tocaba partes o sustitución.
• Elegir mal u y dv, de modo que la nueva integral (∫v du) termine siendo más complicada que la de partida en vez de más simple.
• En sustitución, olvidar regresar de u a x al final y dejar la respuesta a medio camino.
• En una definida, restar en el orden equivocado (F(a) menos F(b) en vez de F(b) menos F(a)), lo que invierte el signo.

La práctica es la que fija esto

No hay atajo: se aprende a reconocer la técnica correcta resolviendo muchos ejercicios y revisando cada uno. Escribe tu función en la calculadora integrales, compara contra lo que resolviste a mano, y fíjate en la etiqueta del método aplicado junto al resultado para confirmar si acertaste la técnica. Todo corre en tu navegador, sin mandar tu función a ningún servidor; puedes leer cómo en la política de privacidad.