Integrales definidas e indefinidas

Integral indefinida: la familia de antiderivadas

∫f(x) dx pregunta: ¿qué función F(x), al derivarla, me regresa f(x)? Como la derivada de cualquier constante es cero, hay infinitas respuestas válidas que solo difieren en esa constante, por eso el resultado se escribe siempre como F(x) + C.

Ejemplo: ∫6x dx = 3x² + C. Prueba con 3x², con 3x² + 10 o con 3x² - 1: las tres tienen la misma derivada, 6x. La constante C es justamente ese margen de libertad.

El resultado de una integral indefinida siempre es una función, jamás un número.

Integral definida: el resultado es un número

∫[a, b] f(x) dx trae dos límites, uno inferior (a) y uno superior (b), y a diferencia de la indefinida entrega un número: el área con signo entre la gráfica de f(x) y el eje horizontal, medida entre esos dos puntos.

El "con signo" importa: donde la gráfica cae por debajo del eje, esa porción de área cuenta como negativa. Tiene sentido físico: si f(x) es una velocidad, un tramo negativo señala que el movimiento fue en reversa, y la integral (el desplazamiento neto) tiene que reflejarlo.

El puente entre ambas: el Teorema Fundamental del Cálculo

Este teorema es lo que conecta las dos ideas: para resolver una integral definida, primero consigues la antiderivada F(x) (la integral indefinida), y luego la evalúas en los dos límites y restas:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

La constante C, que sí aparece en la indefinida, desaparece sola al restar F(b) menos F(a). Por eso una integral definida jamás lleva +C en su resultado.

Un ejemplo, de principio a fin

Resolvamos ∫[1, 3] 2x dx, el área bajo la recta 2x entre x=1 y x=3.

Paso 1. Antiderivada: ∫2x dx = x².

Paso 2. Evalúa en el límite superior: F(3) = 3² = 9.

Paso 3. Evalúa en el límite inferior: F(1) = 1² = 1.

Paso 4. Resta: F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.

El área bajo la recta 2x entre 1 y 3 es exactamente 8 unidades cuadradas (puedes verificarlo geométricamente: es un trapecio con bases 2 y 6, altura 2, área = (2+6)/2 · 2 = 8). Compruébalo en la calculadora integrales: modo "Definida", función 2*x, límite inferior 1, límite superior 3.

¿Y si el resultado sale negativo?

Cuando la curva pasa por debajo del eje x en parte o en todo el tramo, el resultado puede salir negativo, o más chico de lo que la intuición visual sugiere, porque las áreas bajo el eje restan en vez de sumar.

Ejemplo: ∫[0, 2π] sin(x) dx = 0. El seno tiene lóbulos grandes por arriba y por abajo del eje en ese intervalo, pero se cancelan exactamente al completar un periodo entero.

Si en cambio necesitas el área total sin importar el signo (por ejemplo, distancia recorrida en vez de desplazamiento neto), hay que cortar el intervalo donde la función cambia de signo e integrar cada tramo aparte, sumando los valores absolutos.

De un vistazo: las diferencias clave

Resolviendo cada tipo con esta calculadora

En la calculadora integrales el modo se elige directo con un botón. Si lo que te falta es dominar el procedimiento a mano (potencia, sustitución, por partes), tenemos aparte la guía cómo resolver integrales paso a paso.

• "Indefinida": entra tu función y sale la antiderivada general, +C ya incluido.
• "Definida": entra tu función más los dos límites; el Teorema Fundamental del Cálculo se aplica solo, y ves el valor exacto (a veces una fracción) junto a su aproximación decimal.
• En cualquiera de los dos modos aparece el método detectado y una verificación automática: se deriva el resultado y se contrasta contra tu función, para que confíes en la respuesta sin tener que repetir el cálculo tú mismo.

No solo área: otros usos de la integral definida

El área bajo la curva es solo la puerta de entrada. Físicamente, integrar una velocidad te da la distancia recorrida, e integrar una aceleración te da el cambio de velocidad; integrar la fuerza que ejerces al mover algo te da el trabajo realizado. En estadística, integrar una densidad de probabilidad entre dos valores te da directamente esa probabilidad. Y en microeconomía se calcula así el excedente que ganan compradores o vendedores frente a una curva de oferta o de demanda.

El procedimiento matemático es siempre el mismo que en esta guía: hallar la antiderivada y evaluarla en los dos extremos del intervalo que te interese.

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